Calculation of the Distance of the Object from Plane of Fire to Control Check the Barrel Artillery Fire Safety

Úvod

Při střelbách hlavňového dělostřelectva je třeba dodržovat bezpečnostní opatření uváděná v předpise Vševojsk 2-9 Bezpečnostní opatření při výcviku, definující určení bezpečnostních vzdáleností:

1. bezpečná vzdálenost Bv[m] (níže definovaná jako vzdálenost mezi objektem a cílem)
2. bezpečná vzdálenosti mezi objekty a výstřelnou rovinou

Tento článek se zaobírá prioritně určením (výpočtem) bezpečné vzdálenosti mezi objekty a výstřelnou rovinou.

Bezpečnostní opatření se týkají všech objektů, které mohou být ohroženy střelbou. K těmto objektům patří nekryté cvičící jednotky, jednotky v obrněné technice, místa velení, sklady, obydlená místa, apod. Patří sem i pozorovací stanoviště, která nejsou při střelbě přestřelována.

Hodnoty uvedené v předpise též rozlišují, zda střelba je přímá nebo nepřímá.

Pro dodržování bezpečnostních opatření v souladu s předpisem Vševojsk 2-9 při střelbě hlavňového dělostřelectva je třeba znát:

1. vzdálenosti mezi objektem a cílem nebo elementárními cíli, na které bude vedena palba,
2. nejmenší vzdálenost mezi objektem a výstřelnou rovinou.

Zjištěné hodnoty se porovnávají s přípustnými hodnotami, které jsou uvedené v předpise Vševojsk 2-9 a jsou závislé na typu objektu a stupni jeho krytí, ale i na druhu střelby (přímá, nepřímá).

V rámci přípravy a plánování bojových střeleb dělostřelectva je prioritním úkolem volba rozmístění bojové sestavy dělostřeleckých jednotek a terčového manévru. Z tohoto pohledu, do bojové sestavy řadíme palebná postavení jednotek dělostřelectva a prostory rozmístění pozorovatelen. Terčový manévr je volen tak aby zabezpečil udržení bezpečnostních vzdáleností definovaných předpisem Vševojsk 2-9.

Při provádění plánování cvičení jednotek dělostřelectva (minometných jednotek) je součástí toho to procesu výběr jednotlivých palebných postavení (palebná stanoviště řídících děl) a poloh cílů (v prostorech cílových ploch vojenských újezdu), na které se plánuje provádění palby děl a minometů.

Zakreslí se poloha objektů, které mohou být ohroženy palbou a následně se zakreslí jednotlivé palby v souladu se záměrem cvičení. Pro kontrolu bezpečnosti střelby se vyberou objekty, které jsou výstřelné rovině nejblíže. [1]

Vstupními informacemi při určování bezpečných vzdáleností jsou souřadnice (jsou uvedeny N a E) těchto bodů:

• Baterie (N_B, E_B) - palebné postavení děla baterie (řídící děla baterií, čet);
• Cíl (N_C, E_C) - cíl;
• Objekt (N_P, E_P) - objekt (nekryté cvičící jednotky, jednotky v obrněné technice, místa velení, sklady, obydlená místa, případně pozorovatelna ...).

Baterie – označen „B"
Cíl – označen „C"
Objekt – označen „P"

1. Způsoby určení vzdálenosti mezi objektem a cílem

Určení vzdálenosti mezi objektem a cílem je možné provést následujícími způsoby:

1. Změřením dálkoměrem – lze provést při přípravě cvičení v rámci rekognoskace terénu určeného pro výcvik. Při přípravě cvičení musí být předem určeny souřadnice objektu a souřadnice cíle. Tyto souřadnice nemohou být měněny.
2. Graficky – vynesením bodu objektu a bodu cíle do mapy s následným změřením vzdálenosti na mapě a přepočítáním podle měřítka mapy na skutečnou vzdálenost.
3. Výpočtem – vzdálenosti mezi objektem a cílem (definovanou jako d_C) se vypočte pomocí souřadnicových rozdílů a Pythagorovy věty.

Ad c) Výpočet souřadnicových rozdílů ΔN_(P-C) a osách N a E mezi cílem C a objektem P:

ΔN_(P-C) = N_C  - N_P ,                                     (1)

Δe_(P-C) = E_C  - E_P ,                                      (2)

Výpočet vzdálenosti d_C mezi cílem C a objektem P se vypočte pomocí souřadnicových rozdílů (1) a (2) a Pythagorovy věty

  .                            (3)

Dílčí závěr

Jedna z podmínek bezpečnosti provádění bojových střeleb je určení bezpečné vzdálenosti Bv[m] mezi objektem a cílem. Tato vzdálenost se porovnává s přípustnou hodnotou, jejíž výpočet je uveden v předpise Vševojsk 2-9, čl.54. Vzhledem k tomu, že vzdálenost mezi objektem a cílem je zjistitelná, není problém při nevyhovění normy změnit palebné postavení, nebo přidělit palebný úkol jiné jednotce, u které bezpečná vzdálenost vyhovuje. Další možností je, pokud podmínky dovolí, přesunout objekt (pojízdný sklad, velitelské stanoviště, obrněnou techniku, živou sílu, pozorovatelnu ..... ) na jiné výhodnější místo.

2. Způsob určení nejmenší vzdálenosti mezi objektem a výstřelnou rovinou

Určení vzdálenosti mezi objektem a výstřelnou rovinou není možné provést měřením v terénu. Úlohu je možno řešit následujícími metodami:

1. Grafickou metodou. Při této metodě se zakreslí do mapy body palebného postavení děl a body cíle. Vynesením jejich spojnice dělo – cíl se vytvoří výstřelná rovina. Dále se zakreslí objekt (například místo velení) a kolmice k výstřelné rovině tak, že prochází objektem. Změří se délka této kolmice a podle měřítka mapy se přepočítá na skutečnou vzdálenost.
2. Početní metodou. Tato úloha je poněkud složitější, protože není uveden možný způsob výpočtu v žádném předpise, minimální vzdálenosti mezi objektem a výstřelnou rovinou. Cílem tohoto článku je rozebrat jeden z možných způsobů výpočtu.

2.1 Grafická metoda

Řešení minimální vzdálenosti mezi objektem a výstřelnou rovinou je zatíženo chybou zákresů do mapy a chybou měření vzdálenosti na mapě. Tyto jednotlivé chyby mohou činit až 0,5 mm v měřítku mapy.

Chyby v měřítku mapy mohou být následující:

• 0,5 mm při vynesení spojnice „palebné postavení – cíl" (výstřelná rovina) v kolmém směru na bod objektu,
• 0,5 mm při vynesení bodu objektu v kolmém směru na spojnici přímky „palebné postavení – cíl" (výstřelnou rovinu),
• 0,5 mm při změření délky kolmice mezi bodem objektu a průsečíkem kolmice s přímkou „palebné postavení – cíl" (výstřelnou rovinou).

Vyskytnou-li se tyto chyby v nejméně příznivém případě, pak celková chyba může dosáhnout součtu všech těchto chyb a dosáhne až 1,5 mm v měřítku mapy. V tabulce jsou uvedeny závislosti mezi měřítkem mapy a chybou v terénu při chybě 1,5 mm měřítka mapy.

Pro příklad je uvedena délka úsečky na mapě odpovídající maximální možné dálce střelby dělostřelectva AČR, což je 20 km.

Tab.: Velikost chyby 1,5 mm v měřítku mapy

Závěr z grafického řešení minimální vzdálenosti pozorovatelny od výstřelné

Pro předpokládanou dálku střelby 20 km, při vynesení spojnice palebné postavení – cíl do mapy měřítka 1:100 000 (nebo případně 1:50 000) odpovídá délka úsečky 20 cm (případně 40 cm). Chyba vynesení bodů a následné změření vzdálenosti od roviny výstřelné k objektu při této metodě měření v nejméně příznivém případě dosáhne 150 m (nebo případně 75 m).

Při použití přesnějších měřítek 1:25 000 (případně 1:10 000) bude celková chyba v nejméně příznivém případě dosahovat 37,5 m (případně 15 m).

Pokud bude střelba vedena na kratší dálku, lze volit menší měřítko mapy, a tím se chyba v měřítku mapy úměrně sníží.

Pro malé dálky střelby např. 3 km a měřítku mapy 1:5 000 celková chyba v nejméně příznivém případě dosáhne 7,5 m.

Z uvedeného vyplývá, že pro velké dálky střelby je přesnější řešit vzdálenost mezi objektem a výstřelnou rovinou početním způsobem. Pro malé dálky střelby je jednodušší a rychlejší řešit úlohu graficky.

Je třeba si uvědomit, že běžně dělostřelci pracují s mapami v měřítku 1:50 000, případně v měřítku 1:25 000.

2.2 Početní metoda – Metoda průsečíku přímky a kružnice

Při výběru početní metody byl zvolen způsob výpočtu, který vyžaduje minimum pomocných výpočtů. Tomu vyhovuje vytvořený způsob výpočtu metodou průsečíku přímky a kružnice, jak je uvedeno na obr.

Princip řešení

Hledáme nejmenší poloměr kružnice R, která se dotýká výstřelné roviny v jednom bodě (výstřelná je tečnou kružnice).

Legenda:

R - nejmenší vzdálenost mezi pozorovatelnou a výstřelnou rovinou
B (N_B, E_B) - souřadnice palebného postavení děla
C (N_C, E_C) - souřadnice cíle
P (N_P, E_P) - souřadnice objektu (například pozorovatelny)
PR (N_PR, E_PR) - souřadnice průsečíku výstřelné roviny a kolmice procházející pozorovatelnou
b_C - posunutí přímky výstřelné roviny oproti počátku souřadnic na ose E
α_C - směrník na cíl z palebného postavení děla
α_K - směrník kolmice na výstřelnou rovinu

Obr.: Průsečík kružnice s přímkou

Nejprve definujeme rovnici kružnice s počátkem v bodě P (NP, EP) a o poloměru R:

(E - E_P)₂ +(N - N_P)² = R².                       (4)

Rovnice přímky výstřelné, která prochází body B (palebné postavení děla) a C (cíl) je definována

E = α_C . N + b_C ,                                   (5)

kde směrnice přímky výstřelné roviny (směrník na cíl z palebného postavení děla) má tvar:

                  (6)

Nachází-li se bod C (cíl) na přímce výstřelné roviny, pak po dosazení jeho souřadnic do rovnice (5) bude tvar rovnice

E_C = α_C . N_C + b_C.                                (7)

Po úpravě rovnice (7) je posunutí přímky

b_C = E_C - α_C . N_C.                                 (8)

Kontrola výpočtu posunutí přímky

Protože bod B (palebné postavení) a C (cíl) se bude vždy nacházet na přímce výstřelné roviny, po dosazení souřadnic palebného postavení do rovnice (5), rovnice přejde do tvaru

E_B =  α_C . N_{B +} b_B.                              (9)

Po úpravě, posunutí přímky je

b_B = E_B -  α_C . N_B  .                            (10)

Jelikož jsou oba body B (palebné postavení) a C (cíl) na stejné přímce, musí platit, že rovnice (8) a (10) se sobě rovnají. Proto platí

b_B = b_C .                                          (11)

Tím je zkontrolována správnost výpočtu parametrů α_C  a b_B a tím i b_C.

Jsou již definovány dvě rovnice, a to:

• rovnice přímky (5),
• rovnice kružnice (4).

Na první pohled se jeví, že nejjednodušší je vypočítat souřadnice (N_PR, E_PR) bodu PR, tedy průsečík obou rovnic. Úloha však není přímo obecně řešitelná, protože není známý poloměr R, což je vzdálenost objektu P od výstřelné roviny.

Jsou tedy 3 neznámé N_PR, E_PR, R a jen 2 rovnice (rovnice přímky, rovnice kružnice).

Řešení je možné:

• numericky – iterační metodou, nebo
• pomocí extrému funkce.

2.2.1 Iterační metoda

Tato metoda spočívá v opakovaném odhadu poloměru R a výpočtu průsečíků kružnice na přímce. Poloměr R se z počátku zvolí velmi velký a následně se zmenšuje pro každý další odhad. Oba průsečíky kružnice na přímce se k sobě přibližují se zmenšujícím se poloměrem R. Výpočet je ukončen, když se oba průsečíky spojí v jeden „dvojný bod", což odpovídá průsečíku (dotyku) přímky s kružnicí. Pro výrazné snížení počtu iterací výpočet můžeme považovat ukončen, když při odhadu poloměru R je vypočtená vzdálenost průsečíků menší přípustná hodnota. Tuto hodnotu je vhodné volit proměnlivou v závislosti na R. Mezní maximální vzdálenost průsečíků kružnice s přímkou doporučuji volit , kdy chyba odhadu R nepřesahuje 0,13 %.

Při odhadu poloměru R = 500 m a vzdálenosti průsečíků do 5 m (zvolená přípustná hodnota ), je chyba v odhadu R do 0,634 m. Skutečný poloměr R nebude menší než 499,366 m.

Při odhadu poloměru R = 50 m a vzdálenosti průsečíků do 0,5 m (zvolená přípustná hodnota ), je chyba v odhadu R do 0,0634 m. Skutečný poloměr R nebude menší než 49,9366 m.

Pokud odhad poloměru R bude menší než skutečná vzdálenost mezi pozorovatelnou a výstřelnou rovinou, pak kružnice přímku neprotne. Řešení těchto rovnic pak v reálném oboru neexistuje, existuje pouze v komplexním oboru, kdy každá ze souřadnic E a N má reálnou a imaginární složku. Tato skutečnost komplikuje použití efektivnějších iteračních metod, jako je metoda půlení intervalu (bisekce), metoda tětiv (regula falsi) atd.

2.2.2 Metoda extrému funkce

Po dosazení rovnice přímky (5) do rovnice kružnice (4), obdržíme závislost jedné osové souřadnice, v tomto případě N na poloměru kružnice R

(α_C . N ₊ b_{C -} E_P)² + (N - N_P)² + R²,               (12)

Po úpravách, přejde rovnice do tvaru

. (13)

Ke zjednodušení zápisu provedeme substituci:

a)

,                            (14)

Poznámka: Tento koeficient A rovnice (14) je současně souřadnice N průsečíku výstřelné roviny a kolmice procházející objektem P. Potom

,      (15)

b)

.                                           (16)

Po provedení substituce členy A a C přejde rovnice (13) do tvaru

.                  (17)

Rovnici upravíme a vyjádříme N jako funkci R

.                    (18)

Po úpravách

.                       (19)

Toto je rovnice N-tých souřadnic průsečíků výstřelné s kružnicí mající střed v souřadnicích pozorovatelny, kde proměnná je R.

Pokud nalezneme nejmenší R větší než 0, pro které platí tato rovnice, v reálném oboru, nalezli jsme minimální vzdálenost objektu od přímky výstřelné roviny, což odpovídá extrému funkce.

Vypočítáme extrém funkce rovnice (19), která je funkcí R (N=f(R)) s použitím 1. derivace.

1. derivaci funkce N=f(R) podle proměnné R je ve tvaru:

.            (20)

První derivaci rovnice (20) položíme rovno 0,

.         (21)

Rovnici (21) upravíme a hledáme podmínky platnosti, které odpovídají extrému funkce.

.                 (22)

Rovnice (22) se rovná 0 za těchto podmínek:

a) (α_C² + 1) = ∞, nebo (α_C² + 1) = -∞,                          (23)

b) R = 0,                                                                    (24)                                        

,                   (25)             

 d)

.                                               (26)

Rozbor podmínek, kdy rovnice (22) se rovná 0.

a) (α_C² + 1) = ±∞, když α_C = ±∞, kde α_C = tgα_c, pak α_C = ±90° + k . 180°.

Extrém je v případě, je-li směrník na cíl 90°, nebo 270°. Tento stav odpovídá zvláštnímu případu, kdy rovina výstřelné je rovnoběžná s osou E, což odpovídá největší možné vzdálenosti mezi středem kružnice a výstřelnou rovinou.

b) R = 0. Toto je nejmenší možný poloměr, kterého je možno dosáhnout. Tento stav nastane, leží-li objekt přímo na výstřelné přímce a odpovídá extrémní hodnotě - nejmenšímu možnému poloměru R. Podmínka , může být splněna ve třech případech:

• Objekt je přestřelován, nachází se na ose výstřelné přímky mezi body B (palebné postavení děla) a C (cíl).
• Objekt je před počátkem B, úsečky B C. Nachází se od -∞ po bod B (palebné postavení děla). Objekt je za palebným postavením.
• Objekt je za koncem C úsečky B C. Nachází od bodu C po +∞. Objekt je za cílem ve směru střelby děla.

Uvedená situace, kdy objekt P se nachází na výstřelné rovině, nastává v praxi jen ve zcela výjimečných případech.

c)

U uvedené rovnice je řešení možné při splnění jedné z podmínek:

1. R = ∞

To je největší možný poloměr, který protne přímku (ve dvou bodech) procházející rovinou výstřelné. Větší poloměr neexistuje. To však není poloměr, který hledáme.

R₂ = -∞    Řešení je pouze v komplexním oboru, to není poloměr, který hledáme.

2. A2 = ±∞

A je definováno podle vztahu (14) a po úpravě

Pak A = ∞, jestliže N_P = ∞, nebo b_c - E_P = -∞. Při řešení není přímo vyjádřen poloměr R, jedná se o zvláštní případy, kdy jedna ze souřadnic pozorovatelny má N_P = ∞ či E_P = ∞ případně posunutí přímky b_c = ∞, což je pro úlohu nepoužitelné.

Pro A² = -∞ nemá smysl úlohu řešit, protože řešení je v komplexním oboru.

3. C = ±∞

C je definováno podle rovnice (16) ve tvaru

I. C = ∞, jestliže N_P^{2 = ∞}nebo (b_c - E_p)² =∞.

Zde opět není přímo vyjádřen poloměr R, jedná se tedy o zvláštní případy, kdy jedna ze souřadnic pozorovatelny je N_P = ±∞, případně E_P = ±∞ nebo posunutí b_C výstřelné v ose E je v nekonečnu.

Další řešení pro C = ∞ je když (1 + α_C²) = 0. To odpovídá a_c² = -1. Řešení je v komplexním oboru, a proto nemá smysl toto řešení dále analyzovat.

Poznámka:

II. C = -∞ pak musí platit N_P² = -∞, nebo (b_c - E_P)²

Řešení těchto případů je možné, pokud souřadnice cíle nebo palebného postavení, případně obojí jsou v komplexním oboru. Proto tento případ nemá význam dále analyzovat.

d)

výraz umocníme, provedeme úpravy, a vyjádříme R,

.                                     (27)

Toto je řešení úlohy. Udává nejmenší poloměr kružnice, která se protne (dotkne) s přímkou výstřelné roviny v jednom bodě. Je to nejmenší vzdálenost mezi objektem a výstřelnou rovinou.

Po dosazení substitučních členů A a C (14) a (16) do rovnice (27) a po úpravě máme rovnici proměnné R ve tvaru

.                 (28)

Výpočet E souřadnice průsečíku PR (E_PR) se provede, když do rovnice přímky procházející cílem (5), se vloží rovnice průsečíku N_PR (14). Po úpravách je souřadnice E průsečíku ve tvaru

.                                (29)

Kontrola výpočtu vzdálenosti objektu od výstřelné roviny R se provede pomocí souřadnicových rozdílů, když do rovnice (30) dosadíme hodnoty spočítané z rovnic (29) a (14)

.                                 (30)

3. Závěr

Uvedená metoda výpočtu R – vzdálenosti objektu od výstřelné roviny – je sestavena pro případ, kdy nejsou vypočítány jiné pomocné hodnoty odpovídající délkám, úhlům, případně směrníkům. Uvedenou úlohu autor článku obecně vyřešil i jinými způsoby, a to pomocí trojúhelníků, pomocí kolmice z bodu P na přímku BC, otáčením bodů C a P okolo bodu B, otáčením celé souřadné soustavy kolem bodu B. Popsané odvození metody průsečíku přímky a kružnice vyžaduje vypočítat nejmenší počet pomocných proměnných. Metoda je vhodná zvláště v těch případech, kdy jsou známy jen souřadnice bodů B, P, C a nebyly provedeny žádné výpočty, které se používají pro řešení palebných úloh.

V případě sestavení automatizovaného systému, kde jsou vloženy všechny body odpovídající charakteru bodů P, může hypoteticky nastat případ, kdy je vypočítaná vzdálenost R, od objektu k výstřelné rovině velmi malá až nulová a nemusí nastat porušení bezpečnostních pravidel. Rovnice totiž nedetekuje zvláštní případ, kdy objekt P (nekryté cvičící jednotky, jednotky v obrněné technice, místa velení, sklady, obydlená místa, případně pozorovatelna ...) je za bodem B (za palebným postavením děla baterie) zamířeného do směru střelby. V tomto případě objekt P není přestřelován. Dálka na cíl z objektu P (d_c) je v pak větší než dálka topografická (D_T^C) měřená z děla na cíl.

Pro lepší pochopení aplikace odvozených vzorců je uveden vzorový příklad.

Příklad

ZADÁNÍ

Při návrhu cvičení střelby z děl je výstřelná nejblíže objektu-pozorovatelně, když zkrácené pravoúhlé souřadnice palebného postavení krajního děla baterie, cíle a objektu (pozorovatelny) v metrech mají tyto hodnoty:

B (N_B, E_B) = (N_B 32672; E_B 47164) - palebné postavení děla baterie,

C (N_C, E_C) = (N_C 45492; E_C 47124) - cíl,

P (N_P, E_P) = (N_P 43981; E_P 47734) - objekt (pozorovatelna).

Pro realizaci provedení paleb v rámci cvičení zkontrolujte, zda objekt není přestřelován (je splněna podmínka, že nejmenší vzdálenost mezi objektem a výstřelnou rovinou je větší než 500 m).

ŘEŠENÍ

Vzdálenost objektu P od výstřelné roviny - R.

Směrnice přímky výstřelné roviny

α_c = -0,00312012480499220 [-]

Poznámka:

Ze spočítaného směrníku přímky, při zahrnutí kvadrantu, ve kterém je řešeno , lze určit směrník na cíl α_c = arctg(α_c).

Spočítaná hodnota směrníku na cíl je α_c = 359°49´16,43´´= 59-97,02 dc.

Posunutí přímky

b_c = Ec - α_c . N_c

b_c = 47124 - (-0,00312012480499220) . 45492

bc = 47265,9407176287 [m]

Kontrola výpočtu posunutí přímky

b_B = Eb - α_c . N_b

b_B = 471674 - (-0,00312012480499220) . 32672

b_B = 47265,9407176287 [m]

Výpočet posunutí přímky byl proveden správně, protože platí

b_c = b_B = 47265,9407176287 [m]

Rovnice přímky výstřelné, která prochází body B (palebné postavení děla) a C (cíl) je

E = α_c . N + B_C.

E = (-0,00312012480499220) . n + 47265,9407176287

Výpočet substitučního členu A = N_PR (odpovídá souřadnici N_PR, průsečíku kolmice z objektu P a rovině výstřelné přímky.

A = N_PR = 43979,1114521095 [m]

Výpočet substitučního členu

C = 1934528607,50993 [m]

Vzdálenost objektu od výstřelné roviny.

 R = 605,28254515941 [m]

Výpočet souřadnice E průsečíku kolmice z objektu P a roviny výstřelné přímky.

E_PR = α_C . N_PR + b_c

E_{PR =} (-0,00312012480499220) . 43979,1114521095 + 47265,9407176287

E_{PR =} 47128,720401008550 [m]

Kontrola výpočtu vzdálenosti R objektu od výstřelné roviny pomocí souřadnicových rozdílů

 R = 605,282545159481 [m]

Kontrola výpočtu proběhla úspěšně, protože i druhým způsobem výpočtu byla spočítána stejná hodnota vzdálenosti objektu od výstřelné.

Závěr

Objekt je od výstřelné roviny vzdálen 605 m. To je více než 500 m, a proto hodnotíme, že při střelbě objekt není přestřelován. V případě přestřelování musí být objekt od cíle dále, než je bezpečná vzdálenost, jejíž výpočet je uveden v předpise Vševojsk 2-9 Bezpečnostní opatření při výcviku.

Souřadnice bodu průsečíku PR, mezi kolmicí a výstřelnou rovinou, jsou před zaokrouhlením na metry N_PR = 43979,1114521 [m], E_PR = 47128,7204040108550 [m].